其实写的比较粗略，不严谨，仅供参考。
chapter 1
这一章先介绍了real analysis关心的两种基本set theoretic structure: topology and sigma algebra。两者分别导向连续函数和可测函数，所以一般而言两者是相对独立的。当然，我们也可以用Borel sets生成borel函数，此时可测集就依赖于拓扑结构。
然后就是常规的测度论内容：测度，简单函数，非负函数的积分，极限定理，complex valued函数的积分。Rudin在这本书仍然（和Baby Rudin一致）是采用Monotone convergence--Fatou lemma--Dominated convergence的顺序。这种顺序是为了让Dominated convergence最后做出来的版本可以包含复值函数的case（同时，因为我们一开始只有非负函数的积分，所以对应地，也就只有Monotone convergence 和 Fatou lemma）。注意：复值函数积分的linearity依赖于L1可积性，非负函数的则不需要可积。
Rudin在这里也讨论了测度的completion（感觉写的比Royden好呢...）我们总是能通过添加零测集的subset，使得sigma algebra变大，对应的measurable function class也变大（主要是方便后续的内容了）。
chpter 2
1. 首先介绍了一些拓扑工具，最终的结果是LCH space上的urysohn lemma和partition of unity。这两个工具都会在后续Riesz定理的构造过程中起到关键作用，前者主要是在构造“soft indicator function”（然后就能通过其和linear functional作用来逼近测度）；后者主要是用来把函数根据Range进行精细分割，每一层的测度约等于该层对应的soft indicator在线性泛函下的value。
2. 然后就是这一章的核心内容：Riesz representation theorem on LCH space：每个定义在Cc空间上的positive linear functional都可以延拓为一个Borel measure，而且这个测度有一定的正则性。值得注意，outer regularity来源于构造的定义，inner regularity只对测度有限的集合成立。但是，当ambient space是sigma compact的时候，inner regularity对所有可测集成立。
3. 然后Rudin开始构造Rn上的lebesgue测度。至此，我们其实已经有三种L-measure的构造方法：第一种是Baby Rudin中的symmetric-difference的metric completion；第二种是Big Rudin中的Riesz定理+多维空间中的Riemann积分（as a linear functional on C_c(R^n)）；第三种则是Rudin不包括的Caratheodory Criterion路径。
4. 最后Rudin证明了LCH上的Lusin定理：有限测度集合内，可测函数能被紧支连续函数“充分”逼近，这在后续证明LCH上的density of Cc in Lp中会被直接用到。在Rn上，连续函数可以磨光成光滑函数。
当然还有些之前没见过的小结论。比如，我们事实上能证明，在直线上测度>0的集合必然包含不可测集（所以不可测集的数量实际上非常多。之前在其他real analysis的教材上，一般给的只是“直线上存在一个不可测集，which is named as Vitali set”）；证明Urysohn lemma的技术事实上会在其他的拓扑-函数的著名结果中用到（一个例子是Tietze theorem），主要就是用“拓扑意义下的分层”来“构造连续函数”。
chapter 3
这一章内容比较少。开头引入了凸函数以及Jensen不等式（概率测度版本），主要内容是讨论了LCH上的Lp space。值得注意，在这里，非负函数的lebesgue积分就能发挥其特长：当我们需要证明某个非负函数（通常是某个函数列的极限）几乎处处有定义，我们只需要证明其一个Lp norm < ∞。此时，Holder、Minkowski不等式就能发挥作用。最经典的例子就是这一章Lp space完备性的证明（Fast Cauchy sequence的构造）。
最后Rudin证明了LCH上Lp space的紧支简单函数和紧支连续函数的稠密性。对于L∞范数距离，紧支连续函数空间C_c的完备化是C_0（无穷远处消失的连续函数的空间，这个在分析中其实也很常用） chapter 4
这一章内容不多，基础的Hilbert space theory。Rudin在这里隐含地处理了一些nonseparable hilbert space上仍然成立的结果。L2 和 l2之间的isomorphism可以通过fourier coefficient建立（Riesz Fischer定理）。之前没有见过的是，nonseparable的情形下，对于单个元素x，非零的coefficient至多只有可数多个（对应到l2（with counting measure）上的事实就是，每个l2 函数的support至多只能是可数集，尽管ambient space的cardinality可以严格大于N0），所以我们仍然能写fourier series将x展开，并且同样有bessel不等式，和parseval等式。
然后，rudin提了一下任意Hilbert space 上的Orthonormal Base的存在性，这需要用到Axiom of choice的等价结果（没看出来Zorn's lemma 和 Hausdorff maximality theorem的区别）
最后rudin快速过了一遍T上的fourier series理论。在证明三角函数系是正交基的时候，rudin选取了和baby rudin中不一样的good kernel。
chapter 5
这一章内容很丰富，虽然看起来是Baire category theorem还有一些consequences。但是，rudin把经典的Banach space结果应用到了classical fourier analysis上。主要有三个方面：
1. 一致有界原则 (Banach-Steinhaus theorem)，Rudin给出的版本是一个二则一，比一般的教材版本多出一点内容。然后，Rudin用其得到T上的Fourier series的一些negative results，其中一个比较强的结果大致是：在T上任选一个可数稠密集A，我们能找到不可数多个连续函数，它们的Fourier series在A上发散。
2. 开映射定理 (Open mapping theorem)，这个其实做的挺标准。Rudin随后用其否定了L^1(T)和c0（趋于0的复数列构成的空间，是l^∞的一个proper子空间）之间的Riesz-Fischer type claim，换而言之，存在c0的元素，它不是任何L^1(T)函数的Fourier系数列。（可以对比L^2(T) to l^2的 positive result）补充，对于一般的L^p--l^p'的Riesz-Fischer type型结论，可以由Hausdorff Young不等式给出。大致是说，p在[1,2]上时，L^p可以通过coefficient operator射入l^p'中，但是l^p'本身更大；而p在[2,∞]上时，l^p'可以通过coefficient synthesis射入L^p中，但是L^p本身更大
3. Hahn-Banach theorem，rudin做的是normed space上的版本（更一般的是TVS上的版本），也做的很标准。虽然证明的过程虽然写的简洁，但是这是我看过的最清晰的一个证明。rudin的功力可见一斑。然后，rudin用它和chap 2的Riesz表示定理，给出了圆盘上的Poisson kernel的一个abstract approach。 To begin，我们在一个合适的函数类上发现，内部value可以被边界value唯一决定，这种决定还满足线性叠加。然后，我们把它看成是一个线性泛函，再用riesz定理得到更强的结果：内部value可以被边界value的加权平均表示（也就是一个概率测度的积分）。最后在圆盘上，我们考虑这个测度的Fourier系数，发现恰好就是Poisson kernel的系数（rudin在这里隐藏的直觉是，一个概率测度完全被其fourier系数决定），于是我们就做完了。
chapter 6
第六章其实内容很丰富，所以读的慢了。rudin依次介绍了如下内容：
1. complex valued measure的定义。Rudin在此解释了为什么我们需要在real or complex measure的定义中约束取值为(-∞, +∞)或者C（而不能像positive measure那样取到∞），这实际上是集合并操作的无序性导致的结果（还有级数的Riemann定理），所以我们实际上有绝对收敛。
2. total variation的定义。我们的目的是寻找复测度的某种表示--就像复数那样表示成phase+magnitude。我们不妨先寻找一个minimal controlling object，于是就自然定义了total variation。进一步我们发现，TV本身就是一个positive measure，而且自动有界（这也就自然导出了measure的TV norm）
3. 但是我们并没有完整得到复测度的表示。不妨研究另一个问题：给定一个测度a，另一个测度b在什么条件下可以表示成某个函数（density）在测度a下的积分？这就是Radon-Nikodym的结论。Rudin这本书用的是Von Neumann的argument，这一次我终于看明白了Neumann的动机：因为density（b相对于a的ratio）有时候会爆到∞，所以我们转而研究b在c = a + b下的proportion，然后再通过某个极限过程（monotone convergence theorem）recover回ratio（并证明ratio实际上是正则的，也就是我们常说的RN derivative）。作为RN定理的应用，我们轻松得到复测度相对于其TV的polar decomposition--RN导数作为phase，TV（原本只是一个dominating的controller）作为magnitude，这样我们就完整解答了2。RN定理还有别的应用，比如限制到real measure的case，我们有Hahn分解（分割集合）、Jordan分解（real measure的正部和负部）
4. 现代分析一条主流workflow就是先 weaken/dualize，再 represent，再 regularize。考虑这样一条轴：
linear functional（distribution）--measure--integrable function--smooth funciton。
越靠近左边越抽象，结构越简单，越容易构造；越靠近右边越具体，结构越复杂，越难得到。Rudin上一章的poisson kernel的构造就是一个例子，Rudin接下来的Lp上的Riesz表示定理（Lp duality）也是这样搞的，先从泛函得到测度，再用RN定理得到函数表示，最后证明函数的正则性。其他例子可以参考Dunford-Pettis定理的证明，还有Hardy space上的一些结果（具体是啥定理忘了）。关于泛函的测度表示，这个在广义函数理论中可以进一步拓展（从order 0版本拓展到正order的版本）。（椭圆）PDE的理论大致也是相同的套路。
5. 最后，利用Lp上的Riesz表示定理，我们最后就能得到bounded complex linear functional版本的LCH上的Riesz表示定理（一开始是positive linear functional的版本）。我们先定义泛函的modulus（模仿复测度的TV的定义），然后就能对modulus使用positive Riesz表示定理得到一个positive measure。然后，我们把目标泛函看作是这个正测度的dual元素，就能得到一个L^1函数（with complex value）的积分表示，也就结束了证明。这其实仍然是前面3中的“先找magnitude，后恢复phase”的纲领
chapter 7
这一章内容很丰富，大概可以分成三块。1是measure的local fine property，2和3都是对calculus的经典定理的measure theoretic 重构。2是FTC (fundamental theorem of calculus)，我们问在FTC成立需要的充要条件是什么？就是AC函数。对于一般的BV函数，FTC需要额外的一个singular part的修正。3是COV (change of variable)，关键在于条件良好的连续transformation（T）可以定义一个image-volume measure，它的测度微分恰好被Jacobian刻画。
1. 类比函数论中函数的局部可微定义，我们考察一个测度在局部的渐进性质。Rudin在这节最重要的技术是Finite 3r-covering lemma（注意，infinite的版本是5r-covering lemma，但是两者大致上的思路都是在贪心）。然后，我们先用测度的Maximal function来给出控制，而且发现M算子本身是weak L^1的（Note：一般实分析教材的极大函数直接对Lp类定义，Rudin这里更加本质），进一步就得到L^1_{loc} class上的Lebesgue differentiation定理（Note：这里其实也是一种对calculus中光滑函数球体平均性质在Lebesgue积分中的推广）。此时，如果加上绝对连续的条件，我们惊喜地发现chap 6中的RN导数其实就是chap 7定义的测度微分。另一方面，我们也有对singular part的微分结果（就是几乎处处为零）。
2. 1其实就给出了直线上的BV函数的FTC。每个BV函数都可以定义对应的复测度，然后复测度关于lebesgue测度分解成绝对连续（其实就是BV函数的古典导数）和奇异的两部分。注意，此时的FTC还有奇异部分的积分，那么我们要问，古典意义的FTC对应的函数条件是什么？Rudin在这里给出必要性是AC，然后通过Lusin N-property作为桥梁，得到AC事实上是充分条件。这一章rudin给了一个在[0,1]上的cantor type function，说明连续单调（导数L^1）函数不一定有FTC。 这里从measure space上看，实际上就是一列绝对连续的概率测度，它们可以弱收敛（concentrate）到一个singular的limit，而且这个limit没有atom（所以对应的分布函数连续单调）。因为singularity，limit的测度导数几乎处处=0（所以分布函数的导数几乎处处=0），所以分布函数不满足FTC。这里需要用的工具主要就是Prohorov定理和Portmateau定理。此外，这个论证可以得到一个byproduct：cantor set不可数。
3. 这一部分是chap 7最技术、最巧妙的部分。首先，rudin给出，古典calculus的COV中的Jacobian其实可以被理解为变换前后测度之ratio的limit（Note：证明也相当技术，用到Brouwer FPT，而Brouwer本身也很难证明，需要从Sard定理开始，逐步建立拓扑degree，用这个不变量来做）。然后，当变换足够良好的时候，可以定义image-volume测度，这个测度的微分就是T的Jacobian（！）之后的内容就比较直白了（当然还是相当技术的）Rudin最后给出的COV也算是很强的版本，我们并不要求domain的每一点T都可微，而只需要T的image下“坏点”lebesgue测度=0。事实上，我们可以构造一个[0,1]的例子，T在无理数上可微，有理数上不可微，在[0,1]单调连续。此时，古典COV会fail，但是rudin的版本仍然可用。
chapter 8
这一章内容不是很多，主要就是关于Lebesgue theory中的product measure，Fubini theorem及其应用。从此我们就走到了（古典）调和分析的门口。
1. product measure中最重要的一个视角是monotone class test。elementary sets（是一个algebra）的sigma closure恰好就是其生成的monotone class。
2. Tonelli-Fubini这条线的起点其实比结果重要。关键是问：在product space上，哪些集合满足“面积”的大小和“测量次序”无关。容易验证这些集合构成一个monotone class，而且包含elementary sets。于是我们已经得到了特征函数的Tonelli定理，进一步取极限、控制控制符号就得到了Tonelli定理和Fubini定理。注意我们要求测度是sigma finite的，否则积分换序可能不成立；Fubini的条件是模长 jointly integrable，如果模长积分爆炸那么积分换序可能不成立。Rudin然后进一步讨论了一下product measure不complete的问题，completion并不影响Fubini。
3. Rudin这本书进一步指出，Tonelli-Fubini不仅解决了换序的问题。很多时候我们要证明一个集合的“largeness”，不仅可以通过cardinality、category，还能通过证明测度>0（某个积分有限，得到几乎处处的性质）。然后Rudin举了一个L1 convolution 不等式的例子，这是各种卷积不等式的prototype。然后，我们也能得到cake representation（这个公式对古典调和分析很重要，我们至此能真正把各种weak type估计运用到norm estimate中）Rudin作为应用，运用Marcinkievicz interpolation technique（相当于是稍微改良了原来的weak L1估计）证明了极大算子的Lp有界性（于是我们也得到了想要的“largeness”：Lp函数的极大函数几乎处处有定义）
4. 回过头来看，在实分析测度论的local theory下，球平均的两个定理（Lebesgue 微分定理 + 球平均-极大函数的几乎处处有定义）其实已经接近调和分析的视域。球平均本身可以看成是 approximation-of-identity（stein书里叫good kernel）的经典prototype。对于一般的local averaging kernel（比如Poisson kernel，heat kernel），我们都可以尝试比较它们自己的极大算子和球平均的极大算子，进而建立对应的pointwise recovery property，这就是古典调和分析中的Hardy-Littlewood maximal theory。
chapter 9
这一章内容不多，主要关注Fourier Transform（FT）。Rudin最后给出了FT的Banach algebra视角，说明FT其实能被全体Complex multiplicative functional生成。但是阅读的过程还是有一些自己思考的收获：
1. 我们通常会说FT就是fourier级数的continuous spectrum的版本，fourier系数变为FT的value。但是，fourier级数和FT之间还有更加直接的关系。固定一个光滑紧支函数f，我们在[-L,L]上求出f的fourier级数。事实上，L趋于无穷的时候，fourier级数会有一个Riemann Sum的结构，并以O(1/L)的误差收敛到逆变换公式的那个积分（对应的，fourier级数的坐标分量变成逆变换积分中的density）。但众所周知，Holder连续的函数的fourier级数会一致收敛到函数本身。所以，令L趋于无穷，对比两边，我们就得到了光滑紧支函数的FT Inversion formula（最后再用光滑紧支函数来test，就得到f in L1, f' in L1的Inversion的完整版本）。同理，我们可以把Parseval等式也写成Riemann sum的形式，令L趋于无穷，就得到光滑紧支函数的Plancherel等式。最后再从光滑紧支class延拓到L2上，我们就有了经典的Unitary Operator的结果。
2. 1中的路径和传统教材都不一样（是我和GPT老师讨论出来的路线），传统教材更关注FT自身独立的理论建构（我看过的就有Axler的MIRA，Knapp的Basic Real Analysis，还有Big Rudin）。对于Inversion formula和Plancherel，基本上都是用经典的Kernel的卷积（比如Poisson或者Gaussian）得到approximate Inversion formula 或者 approximate Plancherel。然后再控制极限，就得到完整的结果
3. Rudin随后给出了一个有意思的结果：L^2(R)上对平移封闭的闭子空间M经过FT之后，在fourier side有一个简洁的刻画。这背后仍然有更加深刻的背景，因为本质上是在说，若M的投影算子P和所有平移算子交换，那么FPF^{-1} = M_{X(E)}。这就是无穷维空间上的一个特定的Spectral theorem（我们指定了F为Unitary operator）。事实上，Knapp书里的结果指出，所有和平移算子交换的有界线性算子A，经过FAF^{-1}对角化之后，在Fourier side都会变成一个L^{∞}的multiplier（例子：卷积算子，平移算子，刚刚说的投影算子）。当然，经过推广之后我们还有unbounded operator的版本（例子，微分算子，Laplacian）。这是极其优美的统一。所以也就不奇怪为什么调和分析、算子代数、谱理论、偏微分方程会联系地如此紧密。
4. 最后就是L1添加上convolution变成Banach algebra，对应的所有homomorphism可以生成FT。这个没什么好说的，到后面会对应上Gelfand Transform。
chapter 10
Rudin在这一章30页讲完了一般的复变函数200页左右的基础（比如：史济怀，1998）。Rudin处理的方式一如既往地简洁，在最小技术成本下建立 holomorphic function theory的核心体系。
1. 将real differential推广到complex differential会产生巨大的不同结果。如果我们将holomorphic函数 f 看作R^2上的映射F，F的分量会满足CR方程，换而言之，f本身满足D-bar方程。这里，我和gpt老师讨论了不少有趣的东西。例如，在PDE/广义函数的框架下，我们可以用D-bar方程的基本解和卷积，推导出单位圆的Cauchy公式（作为一个recovery type定理）；这就像我们用Laplace方程的基本解和卷积，可以推导出单位圆的Poisson公式。
2. 将real segment integration推广到complex contour integration也会有很多神奇的结果。Rudin这里先推导了C上测度的Cauchy变换作为基本的工具（后面会反复用到）。然后，就是常规的路线，Goursat lemma、Local Cauchy theorem、Local Cauchy formula。于是，我们就能利用积分表示得到Holomorphic函数的级数表示（以及无穷可微性）
3. 然后利用级数表示，我们就能得到Holomorphic函数的一些常规结果（比如，零点分布、奇点分类、Liouville、极大模原理、代数基本定理、Open mapping theorem（还有Local normal form））。当我们把所有Holomorphic函数看成一个function class，其almost uniform convergence下的拓扑是一个用可数个semi norm生成的complete locally convex TVS，于是也能距离化变成一个Frechet space。
4. 这一章最技术的部分应该是Global Cauchy formula and theorem。注意，Rudin version的global cauchy公式对于积分路径的assumption被压缩到一个简洁的winding number = 0 的 condition。然后Rudin提了一嘴Homotopy的补充。然后就是常规的Residue calculus，可以运用到实分析里的各种计算（比如计算各种Fourier变换）。
chapter 11
依旧是内容丰富的一章，虽然只有不到20页。Rudin主要讨论了单位圆盘U上的调和函数和poisson integral的各种topic。
1. poisson积分可以（唯一）刻画给定边界（在T上）的调和函数f（Poisson integral as harmonic extension）。进一步，我们可以利用poisson积分证明给定开集上的f的（local）smoothness, mean value property。进一步，如果f is real，poisson积分给出了f locally 对应的Holomorphic函数（还有f的共轭调和函数）；对一般的complex调和函数，我们可以局部地拆成holomorphic part和anti-holomorphic part（所以在局部有级数展开）
2. 反过来，我们可以研究Poisson积分的各种fine property。首先，Poisson积分是从C(T)到C(bar{U})的isometry，在给定半径的section上是contraction，而且有semi-group property（rudin书上没有，但是事实上证明很简单，先在三角函数上做，然后再用稠密性即可）。此外，Poisson kernels作为一个（关于1对称的）delta sequence，我们自然要问ratio参数在趋于1的recovery性质。首先，Lp范数意义下的recovery是显然的。进一步，我们考虑pointwise的版本（径向的limit就是L^∞ recovery，对于T上连续的trace），事实上，rudin这里考虑的是更强的非径向的limit（利用平面几何的估计、还有Maximal function）。
3. 注意，Rudin在这里其实已经揭示了古典调和分析的Hardy-Littlewood maximal theory的machanism：我们考虑R^n上的球面对称、递降的positive delta sequence，其与L1函数（或者complex测度）的卷积利用Layer cake可以写成一系列球平均的某个概率平均，所以我们可以得到对应的Maximal function的weak(1,1)性质（于是几乎处处有界）、Lp估计，以及Pointwise recovery（所以真的是delta limit，这也算是推广的Lebesgue微分定理）（如果是complex测度，则recover到其RN导数（的Lebesgue点）的value）。
4. 最后，我们由前可知，对于Poisson积分，其T上的Trace能（一致地）控制内部U上每一个section的范数。那么我们自然要问，对于U上的调和函数f，f何时能被表示成T上的某个函数的Poisson积分？Rudin证明，前面的一致范数控制事实上也是充分条件（于是我们可以自然定义Hp space）。这就是圆盘上的Hp Space。随后，rudin又在Holomorphic的case中（H∞空间）证明了一种关于trace更强的rigidity的结果。所以，我们不禁还要问：从T上的Trace的角度，我们如何刻画普通harmonic函数和holomorphic函数的区别？Rudin似乎会在chap 17回答。
5. 其实，我们可以探索圆盘上各种Holomorphic函数的空间。Rudin在这一章的ex 6给出了提示（其实就是Dirichlet norm，或者说real part的Dirichlet energy）。有如下inclusion：Dirichlet space 属于 Hardy space 属于 Bergman space，而且三者都是Hilbert space（norm可以用0处的Taylor系数刻画）。其中，Bergman space对应圆盘上L2函数空间到L2 holomorphic函数（as a closed subspace）的投影的range（holomorphic函数对任意L2函数的最佳逼近）
chapter 12
我们知道，maximum principle（MP）本身在局部上可以看做holomorphic函数的section的L2 norm growth的自然后果。这一章主要讲了各种MP的应用，以及如何将MP推广到unbounded domain上。
1. Rudin首先用MP给出了圆盘U上的Schwarz lemma，事实上我们可以把这个lemma做成dichotomy的形式：U到U的holomorphic函数 f （f(0) = 0）要么是一个rotation，要么是一个contraction（事实上通过迭代可以把U上每个点压缩到0）。对于一般的U到U的holomorphic函数，我们可以证明，maximize一点处的|f'|，等价于得到U上全局的biholomorphicity。再往后这可以通向Riemann Mapping theorem。
2. MP第二个应用是结合Phragmen-Lindelof的Damping factor method。一般地，在unbounded domain上，我们需要人为（光滑地）截断函数，才能用MP。我们不仅可以得到strip上的Three lines定理（先验有界+MP推出更sharp的定量估计）；我们也可以得到另一种结果，用（合适的）interior growth estimate+boundary bound得到unbounded domain的global有界性（Rudin的例子在12.9）。这种语言其实在分析学的研究中比较常见，通过限定函数的Growth（明确边界），来进一步刻画函数的行为（通常也是得到更sharp的估计，或者是some other finer properties）。
3. 然后Rudin用Three lines定理得到了Fourier coefficient map的Hausdorff Young 定理。这其实是一般的Complex intepolation theorem（Riesz and Thorin）的一个实例。核心是dualization，complexification，以及density extension。
4. 最后，Rudin尝试通过MP反过来刻画holomorphicity。我们只要能把一个有MP性质的函数放到一个有一定代数稳定性的函数空间里，就能自动得到holomorphicity。然后Rudin用其得到了Rado定理，开集上的连续函数f，只需要在zero set外的部分holomorphic，就能加强为完全holomorphic。我们可以将其与Schwarz reflection lemma类比，两者都是在刻画局部的holomorphic函数在一个特定的“exceptional set”上何时能免费得到holomorphicity。Rado说exceptional set需要被zero set包含，Schwarz说当exceptional set落在real axis上时，我们只需要让此处的Im(f) = 0。
chapter 13
这一章内容很有意思，表面上rudin在讲Runge rational 逼近和其consequences（Mittag-Leffler，还有Simple connected region的等价刻画（对于现在的我这是很深刻的结果）），但是我感觉这一章真正在讲的东西是，以下4个不同领域数学对象的相互刻画：复平面上的region（Ω）的拓扑structure、H(Ω)的contour积分structure、H(Ω)上的逼近structure、H(Ω)作为函数空间对一些操作的封闭性（稳定性）
1. 准备1: rudin先引入平面上的∞，定义C上的one-piont compactification（拓扑上紧化之后同构与S^2）。这里自己顺便复习了一下holomorphic函数的singular分类（主要是∞，pole只能对应复多项式），然后给出了有理函数的分解（这里事实上需要证明，有理函数的singular确实是pole）。// 准备2: rudin然后构造了C上的开集的topology-awared的compact exhaustion（保证不制造新的hole），并用方格构造了开集内部的紧集的topology-awared的contour，并给出对应的cauchy公式。
2. 于是，rudin就开始证明Runge定理（用的方法和Stein的不一样，我肯定是更加喜欢rudin的abstract approach）。这里，我们需要先从Ω的补集上选择pole（也就是提取Ω的拓扑信息），然后构造对应的（用于逼近的）函数空间M(K)。然后我们调用经典的泛函结果（Hahn Banach的经典推论），holomorphic函数 f 能被逼近等价于在M(K)上vanish的线性泛函在 f 处也同样 vanish；最终经过Fubini，我们只需证于dual的所有测度（用到Riesz表示定理）的Cauchy变换（which is holomorphic）在K之外归零，也就是K的补的每个component上归零。整个思路是比较巧妙（奇诡）的。。
3. rudin接下来用Runge证明Mittag-Leffler，其实就是把原本的可数个指定的principal part的不收敛的级数，通过Runge逼近扣除每项的大小，使得级数变得重新可和，同时仍然有指定的principal part at every prescribed pole.
4. 然后，rudin开始证明这一章真正的大定理，Simple connected region的等价刻画。直观上，Simple connectness的定义是纯拓扑的。roughly, every closed path in Ω can collapse into a point, which means no hole exist in Ω，或者，Ω 在拓扑上同构于open disk（U）。但是，我们可以进一步用复分析的工具刻画之。最简单的两种是winding number = 0 for every closed path和Ω外的点，还有，Cauchy公式成立。这是H(Ω)的contour积分structure的刻画；经过Runge，Simple connectness又等价于H(Ω)的元素can be locally uniform approximated by 复多项式（没有hole意味着没有分式函数出现）。这是H(Ω)上的逼近structure。随后，这个逼近结果又能得到H(Ω)在closed path上的Cauchy定理（所以H(Ω)对取原函数封闭、取对数也封闭、取平方根也封闭，in some sense是很“稳定”的函数空间）
5. 最后，rudin要用“H(Ω)对取平方根封闭”这个性质闭合到一开始的Simple connectness。这就是著名的Riemann Mapping theorem（RMT）。对于simple connected region（不是整个C），我们是否能构造Ω到U的biholomorphic映射？chap 12的Schwarz lemma告诉我们，考虑U到U的holomorphic函数f，并满足约束f(a) = b，那么f是biholomorphic当且仅当 |f'(a)|被最大化（注意，我们仅仅要求在a处成立，但是事实上，这等价于 f 在 U 的每个点 w 都有Schwarz–Pick不等式的等号）。这其实很直观，因为f作为二维映射在a处的面积Jacobian就是 |f'(a)|^2，而满射就是要求在每个点都尽可能“舒展撑大”。所以，我们自然猜测，RMT对应的biholomorphic函数必然也会有最大的|f'(z)| (在固定z并normalize f(z) = 0之后)。
我们先考虑Ω到U的holomorphic单射构成的函数族F。我们可以悉数证明如下lemma： （1）通过平方根操作，我们的确可以构造这样的函数（而且必然存在Ω上一点z，使得|f'(z)| > 0）（所以F不空） （2）根据Montel定理，F的每个序列都存在子列都存在一个local uniform topology下的极限（所以也属于H(Ω)）（但是目前其是否仍属于F未知） （3）进一步，如果这个子列满足|f'(z)|严格>0，那么极限事实上单射，所以也属于F（用到Rouche） （4）对于F中非满射的元素f，我们可以构造新的g，改进导数：|f'(z)| < |g'(z)| 最后RMT的arguement就只剩下一个PDE style的direct method。显然，|f'(z)|这个泛函在F上是有界的，于是我们定义sup，并抽一个序列逼近之。by（2）（3），我们得到F的一个元素 h 到达sup，于是 by（4），h是biholomorphic的，RMT得证。
chapter 14
这一章主要考虑的是holomorphic injective function，也就是conformal map。利用injectivity这个global的性质，我们事实上可以推出函数的一些定量行为（比如用平面几何area关系得到Taylor系数控制）。这里导向著名的Bieberbach theorem。
其次，RMT的conformal mapping何时能连续地延拓到bounded Ω的边界？一个精确的要求是，边界都是simple boundary point（等价地说，∂(Ω)是一条jordan curve）。于是我们还能回到之前的poisson kernel的章节进一步补齐一些内容：我们知道，H∞(U)的函数在T上有L∞的trace，并几乎处处沿径向逐点收敛。那么，什么时候，这个L∞的trace有continuous的representative？对于H∞(U)的函数f，若进一步添加injectivity，那么，∂(f(U))是jordan curve等价于f能被延拓成C(bar{U})，而且在T上仍然是injection。如果没有单射性，我们还能用逼近的角度来刻画：f能被延拓成C(bar{U})等价于在U上能被复多项式一致逼近（也就是落在多项式的H∞ norm下的闭包）。
最后Rudin考虑了最简单的non-simple connected的case，也就是两个annulus之间的conformal mapping。结果比较rigid，要求两个圆环是在几何上相似。这也就区分出来了conformal mapping 和一般的拓扑同构的强度的不同。
chapter 15
这一章内容很丰富，前半部分大致的意思是，H(Ω)对zero set几乎没有任何限制（对于给定的一个prescribed zero set，我们都能构造出对应的holomorphic函数），于是我们可以得到最一般C上的entire function、meromorphic函数的表示，以及Ω上的interpolation定理。然后，后半部分就大致在说，当我们添加一定的constraint（比如growth，norm，Nevanlinna class），零点分布就会开始受到限制。
1. 这一章的基础技术是infinite product，无穷乘积的结论基本上都能归结到无穷级数的结论（一个tail要迅速收敛到1，一个tail要迅速收敛到0），于是在合适条件下，我们就能定义Holomorphic函数的无穷乘积，并仍然落入H(Ω)中。作为应用，rudin的习题里也有经典的cot(pi*z)的级数表示（mittag-leffler）, sin(pi*z)的无穷乘积表示（weierstrass）
2. weierstrass factorization对指定zero的函数的构造，和mittag-leffler对指定pole的函数构造，（包括后面Rudin给出的那个intepolation定理）从证明的角度上是一致的。我们都是要glue 出一个desired object，但是glueing的limit可能不存在（量化地说，两者都是用一个级数的收敛性，来得到这个limit的存在性），然后我们就想办法改进这个级数的tail，使得这个limit合法。
3. Jensen formula可以不用rudin的证明，可以从distribution theory 或者potential 的角度来理解。由此，对于entire function，zero density被growth定量地控制。
4. Blaschke product可以用来构造H∞的zero factor（对应Weierstrass elementary functions的 product用来构造entire function的zero factor），并且不改变边界T上的modulus，这在后续的BSO分解会有用。一般地，对于proper simple connected region Ω，我们都可以利用RMT给出的conformal mapping写出关于H∞(Ω)元素的zero分布的Blaschke condition（都是一个级数收敛条件）
5. 这一章最后证明了一个real approximation的定理（muntz-szasz），结合几道后面的习题（ex20，21，22）。其中都会涉及mellin transform或者laplace transform（as a holomorphic function）。手段有这几种，都是complexification，然后利用analytic rigidity： （1）C[0,1]上的L∞逼近：用Hahn Banach把逼近问题转化为annihilation问题，然后再complexificate，构成某个变换，转化为复分析里面某个特定Ω上的zero分布问题（muntz-szasz用的Ω就是right half plane），就能用对应的blaschke (blow up) condition。 （2）比如在ex 22中，L2[0,+∞)的L2逼近：利用正交补条件，直接complexificate得到某个变换（一般是H∞的），然后考虑taylor jet，得到局部的信息。
chapter 16
这一章内容很丰富，rudin进一步刻画了复分析、平面拓扑、球面几何之间的联系。
1. 我们首先考虑U上的收敛半径1的级数，并定义其natural boundary（允许analytic continuation的最大边界）。然后，rudin讨论了这个boundary和收敛半径的circle的关系：（1）circle上必然存在不允许延拓的singular point，允许延拓的点构成一个开集，比如1/(1-z)，只有1是singular point（2）存在级数，使得circle恰好是自然边界，而且还有进一步的定量刻画（Hadamard gap theorem）（3）natural boundary对函数的行为要求比单纯的（内部和边界）光滑性更加严格，这也是一种holomorphic rigidity
2. 然后rudin就开始进入到monodromy 定理。我们知道，对于region Ω上的holomorphic函数，其在局部的一个local germ可以沿着path延拓到整个Ω上（显然这种延拓关于germ是唯一的）；但是，反过来是否还成立？也就是说，给定Ω上的一个local germ，并允许任意path上的continuation，我们是否能唯一确定一个Ω上的holomorphic函数？答案是，普通的connectness不够，我们需要simple connectness（来排除多值性，其实这里我们已经站在Riemann surface的门口）这就和rudin之前的13.11产生了进一步的联系，也进一步加深了复分析背后的深层picture：region Ω的拓扑/几何结构--H(Ω)的解析性质--H(Ω)上的代数结构--（新增）H(Ω)元素的local-global的双向关系
3. 作为monodromy 定理的应用，我们可以证明little picard定理，任意非平凡的entire函数最多忽略掉C上的1个点（所以，exp(z)不等于0背后是有着很深刻的原理的！）。如果我们进一步从S^2的几何来看，其实就很直观。首先，C当然可以全纯地 map到单穿孔的S^2（f(z) = z）；其次，C也可以全纯地 map到双穿孔的S^2（exp(z)）；但是，穿孔不小于3时，source = C就不行了，必须换成其他的source（比如Half plane，或者unit disk）
chapter 17
这一章内容很丰富，Rudin进一步讨论了圆盘U上的Hardy space Hp，给出了很多Hp的刻画。首先是边界的trace theory（相当于chap 11的hp的trace theory 加上Holomorphicity之后的版本）；然后给出了关于Hp的结构的BSO分解（以及Nevanlinna class的结构）；然后用到Operator theory中，给出了separable Hilbert space 的 shift operator的 invariant subspace的完整刻画；最后讨论了U上Schwarz integral（or Hilbert transform）的Lp有界性。
1. 关于U的h1的trace theory，我们已经从chap 11得到了这个trace是一个complex borel测度。但是，到了H1中，这个borel测度其实是一个L1 函数给出的。关键在于，普通h1的trace的极大函数只有weak L1，但是H1则是L1（所以可以作为控制函数，给出radio limit 的L1 收敛，于是可以写出L1 trace的poisson积分）。对于一般的 1≤ p ≤ ∞，这个inner data in hp (Hp) 和 trace in Lp (测度空间M) 之间有一个linear isometry，这就是boundary theory在U上的纲领。（而且，Hp的trace满足negative fourier coefficient = 0）
2. 有了Hp的trace theory，我们可以进一步定义inner function，outer function，并给出Hp的BSO分解：用B记录inner zeros的信息；用O记录trace的信息；S则是log|f|（在h1中）的trace（在M中） 的singular part的schwarz 积分的exp。这里，我们事实上可以给出不同于rudin（which 先构造outer factor Q，然后去证明quotient f/Q 是一个inner function）的证明：我们先取掉zero factor B，然后考虑log|f|的trace的lebesgue分解，再分别还原出S和O即可。BSO分解也有一个纯potential theory的刻画。
3. 然后就是shift operator的Beurling 定理。这里关键在于，我们把抽象的separable Hilbert space 同构到H2中（{a_n} <-> ∑a_n*z^n），于是就能利用函数空间（which 有更加丰富的结构、工具）给出invariant subspace 的inner function multiplier刻画。注意，一般而言，想要完整分类算子的不变子空间是极度复杂的（事实上这个case也很复杂，因为inner函数的零点结构B就很复杂，而且奇异部分S也可以很复杂）
4. 最后rudin给出了U上的schwarz积分的Lp有界性，这个等价于Hiilbert transform的有界性。后者也有从奇异积分出发的视角，也有在fourier phase side的multiplier刻画。
chapter 18
这一章是Banach代数的基础，以及其作为一套完整的technique在real and complex analysis中的应用。前半章在讨论spectrum的性质（非空紧，spectral radius公式）；后半章通过maximal ideal、quotient、multiplicative linear functional，以及Gelfand transform，给出了spectrum的另一种刻画（gelfand变换的image）
1. 首先rudin刻画了含unit的Banach代数的inverse、resolvent mapping的连续性（这里用的是Frechet导数的经典定义），以及利用经典的weak analytic性质，得到了spectrum非空；同时基本的拓扑argument得到compactness，所以我们就有了spectrum的最基本刻画。然后Rudin开始讨论spectral radius的公式。这里的神奇之处在于，spectral radius能被元素自身power的norm刻画，和其ambient的algebra无关（随后rudin举了一个很sharp的例子：有一个函数，在disk algebra C(T)交H(U) 中谱是闭单位圆盘，在整个C(T)上谱是闭单位圆，两者的radius相同！）
2. 然后rudin就引入了抽代里面的ideal，maximal ideal，quotient。banach algebra商掉maximal ideal之后（根据gelfand-mazur）同构到C，每一个maximal ideal对应一个 multiplicative linear functional的kernel，最终就得到spectrum as the image of gelfand transform。
3. 作为 Banach algebra technique 在函数论中的应用，rudin给出了一个复分析（disc algebra 的 Bézout theorem）、一个实分析的例子（Wiener 1/ƒ lemma）。我们还能给出disk algebra 在 C(T) 中的一种maximality的刻画：在C(T)中，不存在比其更大的proper algebra。（根据Hilbert transform theory，我们有一个刻画： C(T)交H(U) 恰好是 C(T)中那些 negative fourier coefficient = 0 的元素）其中 Wiener 1/ƒ lemma的论证非常经典：定义ƒ 的norm为 fourier coefficient 的 l1 norm，乘法为逐点乘法；我们想证明 ƒ 在代数中存在逆，只需先找出这个代数上的所有multiplicative linear functional（这个例子中就是evaluation），然后就能看 ƒ的 gelfand transform的image，若不包含0（当然，因为这里ƒ不等于0），就得到了 ƒ 在这个代数中的可逆性（其实就是谱不含0）。
chapter 19
这一章可以分为两部分，第一部分是Holomorphic Fourier transform，第二部分是其应用（C^∞(R)的quantitative geometry）。其实我感觉这名字不如叫Holomorphic Inversed Fourier transform，因为里面的Paley–Wiener theory其实是在把inversion formula 延拓到H+或整个C上。作为应用，rudin定义了Quasi Analytic property，即，何时函数在一点的taylor jet sequence可以唯一决定整个函数。
1. rudin先给出了L2 Paley–Wiener theory的前半部分，如果ƒ的fourier变换 F 在L2+，那么ƒ可以（通过F的inversion formula的复化）延拓为上半平面的holomorphic函数，并且trace L2收敛（逐点收敛）到ƒ；如果 F 紧支，那么ƒ可以延拓成一个entire funciton of exponential growth。这部分是简单的，关键是其reverse也是成立的（后半部分）（严格的证明都依赖于Cauchy contour integral）。在这里，其实有更大的框架：半平面H+上，L1 有界的h1函数可以对应到一个复测度的trace，h2函数对应到一个L2的trace（这其实是纯调和分析的结论，涉及到weak convergence、poisson积分）；H1对应到其中L1+的子空间（绝对连续，negative fourier 系数消失），H2对应到L2+的子空间。（背景也涉及到evolution PDE）
2. 作为应用，rudin开始刻画复分析的analytic function在直线上的光滑函数空间上的对应物：Quasi Analytic class。大概是在说，我们用一列log-convex 的 {Mn}（背后依赖于Landau–Kolmogorov不等式）控制D^n(f)的L∞ norm，然后分析{Mn}的增长如何控制函数的rigidity。rudin先给了一个简单的刻画：{n!}-class是Quasi Analytic的，因为{n!}-class 和 strip 上bounded holomorphic函数有一个对应，而后者确实被任一点的taylor jet sequence唯一刻画。然后就是完整的Denjoy–Carleman theorem，定量地刻画出了，当{Mn}增长的足够慢，{Mn}-class作为一个function algebra就足够好（但也比较小），是Quasi Analytic的。PDE中比较经典的例子就是gevrey {(n!)^s} class。常见的flat function exp(-1/x^2)就是 s = 3/2 的case，所以不在任意一个Quasi Analytic class中（显然，我们可以用它来构造光滑紧支的bumped function，后者显然不是Quasi Analytic的）
chapter 20
这是rudin这本书的最后一章，只有一个定理，mergelyan theorem，相当于把runge逼近定理的条件，包含K的一个邻域上全纯，减弱成K的内部全纯。证明用到了tietze扩张，卷积，以及dbar算子关于二维lebesgue测度的cauchy公式，当然还有runge逼近定理自己。